bokee.net

教师博客

正文 更多文章

通过尺规作图画出正十七边形(附演示动画)

通过尺规作图画出正十七边形(附演示动画)
 
最早的十七边形画法创造人为高斯。
今天在网上发现了一个尺规作图正十七边形的动画,与大家一起分享,有兴趣的朋友可以尝试证明之。
1801年,高斯证明:如果k是质数的费马数,那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分。高斯本人就是根据这个定理作出了正十七边形,解决了两千年来悬而未决的难题。
尺规作图动画:
 

 

作图方法:
步骤一:
给一圆O,作两垂直的半径OAOB
C点使OC1/4OB
D点使OCD1/4OCA
AO延长线上E点使得DCE45度。
步骤二:
AE中点M,并以M为圆心作一圆过A点,此圆交OBF点,
再以D为圆心,作一圆过F点,此圆交直线OAG4G6两点。
步骤三:
G4OA垂直线交圆OP4
G6OA垂直线交圆OP6
则以圆O为基准圆,A为正十七边形之第一顶点,P4为第四顶点,P6为第六顶点。
连接P4P6,以1/2P4P6为半径,在圆上不断截取,即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。
附上证明方法:
设正17边形中心角为[a],17[a]=360,16[a]=360-[a]
sin16[a]=-sin[a],
sin16a=2sin8acos8a=4sin4acos4acos8a=16sinacosacos2acos4acos8a
sina不等于0,两边除之有:
16cosacos2acos4acos8a=-1
又由2cosacos2a=cosa+cos3a,
2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1
注意到 cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,
x=cosa+cos2a+cos4a+cos8№a
y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a
:
x+y=-1/2
xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)
=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a)
经计算知xy=-1
又有
x=(-1+根号17)/4,y=(-1-根号17)/4
其次再设:x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a
y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a
故有x1+x2=(-1+根号17)/4
y1+y2=(-1-根号17)/4
最后,cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2
可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出
 

 

 

 

分享到:

上一篇:做数学要有追女孩的韧劲:温籍学人青年

下一篇:考生记数学笔记莫入误区

评论 (8条) 发表评论

  • 晓晓
    晓晓 : 有一个小男孩因为小时候数学成绩很好,老师每次布置完当天的作业后还会给他布置额外的数学题,有一天,老师照常给他布置额外的题,但当他回到家后做完了其他作业后,开始做那些额外的题,有一道题特别难,他想了一晚上终于想出来了,但他把作业交上去后,很伤心的对老师说“昨天有一道题,我想了一晚上。”老师看了看那道题,吃惊的对他说“你知道吗?你做出了一道难倒了全世界数学家几百年的题”。原来是老师偶然将那道题不小心夹在给他的作业中了。那个小男孩就是后来的数学王子高斯

    2011-05-23 08:49

  • 晓晓
    晓晓 : 最早的十七边形画法创造人为高斯.高斯(1777~1855年),德国数学家、物理学家和天文学家.在童年时代就表现出非凡的数学天才.三岁学会算术,八岁因发现等差数列求和公式而深得老师和同学的钦佩.1799年以代数基本定理的四个漂亮证明获得博士学位.高斯的数学成就遍及各个领域,其中许多都有着划时代的意义.同时,高斯在天文学、大地测量学和磁学的研究中也都有杰 出的贡献. 1801年,高斯证明:如果k是质数的费马数,那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分.高斯本人就是根据这个定理作出了正十七边形,解决了两千年来悬而未决的难题. 当时,当高斯的老师告诉了高斯这是道2000多年没人解答出来的题目,高斯就不会画出这个正十七边形。这说明了你不怕困难,困难就会被攻克,当你惧怕困难,你就不会胜利。

    2011-05-23 08:15

  • 晓晓
    晓晓 : 画法 步骤一: 给一圆O,作两垂直的直径OA、OB, 作C点使OC=1/4OB, 作D点使∠OCD=1/4∠OCA 作AO延长线上E点使得∠DCE=45度 步骤二: 作AE中点M,并以M为圆心作一圆过A点, 此圆交OB于F点,再以D为圆心,作一圆 过F点,此圆交直线OA于G4和G6两点。 步骤三: 过G4作OA垂直线交圆O于P4, 过G6作OA垂直线交圆O于P6, 则以圆O为基准圆,A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点,P6为第六顶点。 以1/2弧P4P6为半径,即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。

    2011-05-23 08:14

发表评论
验证码