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浸染数学文化提升数学素养

浸染数学文化提升数学素养
                                                          李晓华
        
数学不应被等同于数学知识(事实性结论),的汇集,而应主要地被看成人类的一种创造活动,从而,除事实性结论外,我们也应当把“问题”、“语言”、“方法”等同样看成数学(或者说,数学活动)的重要组成部分。
郑毓信《数学文化学》
        
数学是打开科学大大门;数学是科学的语言;数学是思维的工具;数学是一种思想方法;数学充满理性精神。
张维忠《文化视野中的数学与数学教育》
      
读到这两段文字的时候,正是我模仿、学习张齐华《走进圆的世界》上课风格,努力实践数学文化的时候,这两段文字,停止了我对数学文化的肤浅认识,开始了我对数学文化真正意义上的思考与探索。几年来,在对数学文化的上下求索中,有迷茫、有思考、有得失,伴之而来的是学习的快乐、成长的快乐,思想的沉淀,以及实践的凝练。
一、关于数学文化内涵的思考及其实践
        1.
数学文化应彰显数学思维的魅力
      
数学文化不是数学加文化,最初我尝试数学文化是想借此扩大孩子的视野,为此,我不失时机地为孩子补充人文内容,甚至包括一些与数学无关的知识,比如:在讲《11---20各数的认识》的时候,把十七孔桥和《最后的晚餐》的图片拿给孩子们看,现在看来,这误读了数学文化内涵,张齐华的《轴对称图形》中一个环节充分说明了这一点。在这节课里,张老师准备了丰富的内容:美妙的音乐声中欣赏桂林山水,出示交通安全标志,汽车标志的一半,让孩子们猜另一半是什么,这些精彩的华章最终都没成为这节课的亮点,而最打动听课老师的是孩子们关于五个图形是不是对称图形的讨论,那闪现孩子思维火花的讨论,赢得了这样的评价:这样的讨论对于数学思维品质及数学思辩能力的培养,以及由思考而带来的智力愉悦,彰显了更为本质的数学文化魅力,在这里,数学文化回归到了数学本身。前苏联教育家加里宁说过:“数学是思维的体操”。说的就是数学在严谨的逻辑思维中有非常重要的作用,尽管将来绝大多数学生都不会成为数学家,但是条理化和逻辑性作为文化素质对他们将来从事任何一种职业都是需要的。这才是数学文化的真正内涵。
2.
数学史与数学文化
      
数学史应展示一种探索精神一段时间以来,数学史以数学文化的面孔走进了数学课堂。数学史就是数学文化吗?2006年,“全国名师成都行”,2005年全国赛课的一等奖获得者一行六人来到了成都,其间我听了河南的席争光讲述他上获奖课《圆的周长》中的一幕:席争光先引导学生通过动手测量得出周长总是直径的三倍多一点的结论,然后告诉学生在汉朝的《周髀算经》中就有周三径一的论述,接下来他让学生在圆内画正六边形,来揭示“周三径一”存在的误差。当学生发现多边形的边数越多,误差就越小时,他告诉学生这种方法就叫“割圆术”,南北朝时期伟大的数学家祖冲之就是运用割圆术把一个直径一丈的圆分割为两万四千五百七十六边形来计算圆周率的,学生们不时发出“哇”的惊叹。而当他讲到祖冲之在遥远的古代凭借顽强的毅力用算筹来完成这一艰巨的运算时,他的眼中闪出了泪花。席争光在讲述这段故事的时候,依然饱含着热情,他说每次说到这件事,他的脸都会发热。说实话,我的脸也在发热,可以想象,那天在会场上的人们是怎样的感动!在这里,数学史被演化成一种探索精神,而让数学课有了语文课的感动!我觉得这样引进数学史是有价值的。
      
数学史应给孩子“回到原点的思考”“数学教学应有回到原点的思考”刘坚教授如是说。历史上,早在18世纪法国实证主义哲学家、社会学创始人孔德即提出,由于个体知识的发生与历史上人类知识发生的一致性,因而对孩子的教育必须符合历史的顺序,美国著名数学史家卡约黎认为,如果孔德的理论正确的话,那么数学史对于数学教学来说是一种十分有效、不可或缺的工具。
      
数学史教学可以帮助孩子寻找数学知识的逻辑源头,思想方法的产生过程,组织的数学教学顺应着生活事理的逻辑走向,孩子们的学习可以像呼吸一样自然和朴素。我在教学《11—20各数的认识》的时候,从结绳计数、刻板计数开始,讲到古人10个一堆地数石子,当数到10个的时候,就用一个大石子代替这10个小石子,数成10(十),为孩子们顺利地将10根小棒捆成一捆,建立“十”的概念做了很好的铺垫。同样让我眼前一亮的课堂是强震球老师的《角的度量》,课一反常态,打破了以往由直观认识——操作应用——熟练掌握的知识结构,而是引导学生经历量角器的设计与制作过程,在设计与制作角的过程中,中心点、1度角、刻度、角的度量方法都很自然地出现,一切都在不经意中,“回到原点的思考”,这样的课堂来自对角的度量的深刻认识,将其产生的最原始的过程展现给孩子,非常符合孩子的认知规律,这样的展现,不是数学文化的最好体现吗?  

3.
数学美是一种理性美
        
数学美是我让孩子感受数学文化的又一内容,然而我最初是把这种美定义为感性美,摸得着,看得见的,所以才有在上数字时,给孩子们看艺术数学字的环节(由人体组成的数学数字),才有让孩子用三角形、正方形、圆形等数学图形组拼美术图案,并誉之为“美丽数学”张贴在展板上的做法,今天想来,这样的思考大大地窄化了数学美,在齐民友的《数学与文化》里,这样说:虽然人对美的理解和感悟、各不相同,但总之美和完善、完美、和谐、秩序……等互相联系,而数学本身体现出来的简洁美(抽象美、符号美、统一美)和谐美(对称、形式)、奇异美(有限、神秘美)会给学生以美的熏陶。如,对称的图案,对称的建筑物,绘画中的对称,文学作品中的对称手法;奇妙的黄金分割点为达芬奇的画增加了神秘;而数学公式,让复杂问题简单化;还有蜂房的底角是两个互补脚;莫比邬斯带是一个神奇的带子;斐文拉契数列在自然界留下神秘的身影;古老的河书、洛图竟和八阵图有着千丝万屡的联系;更有数学与文学;数学与音乐;数学与哲学的紧密关系,……这些都该是数学的美所在,在无数的例证面前,数学美在我面前有了新的涵义:数学美广泛的存在于数学的各个细胞之中,可谓是“天涯何处无芳草”,需要我们细心去发现,更需要捕捉的是它的理性美!基于此,我总结数学公式,在把一道复杂的数学题用简单方法解出来的时候,我常常告诉孩子:数学是一种化繁为简的过程,也经常给孩子补充一些课外读物。(见后面论述)
       4.
数学是打开科学大门的钥匙
      
对于数学与文化发展的关系,M.克莱因的一个基本观点是:“一个时代的特征在很大程度上与该时代的数学密切相关,数学随文明的兴衰而荣枯。”正是古代希腊数学的高度发展,使希腊社会具有现代社会的一切胚胎,使得这个时代产生了后世很难超越的优美文化,极端理性化的哲学,以及理想化的建筑与雕刻。(张维忠《文化视野中的数学与数学教育》)我觉得努力为孩子找到数学与科技、生活的关系是数学文化的又一内涵。在设计《莫比邬斯带》时,我给孩子介绍了几本有莫比邬斯带内容的书和几个科技馆及重要展馆中展出的莫比邬斯带,让孩子感受到它的巨大魅力。然后通过阅读资料及实际操作感受单侧曲面的性质后,为孩子介绍莫比邬斯带在生活中的运用:传送带、磁带……最后介绍了莫比邬斯带的文化含义:北京科技馆将三叶纽结展出的寓意是:科技没有国界;在科幻小说里面常常用到,在《黑暗之墙》、《一个叫莫比乌斯的地铁站》、《星际航行:下一代》中,莫比邬斯带都被赋予了诸如时空隧道之类的神秘力量……孩子们在这堂课中充分感受到了数学的科技含量,这样的教学让孩子对数学有了新的认识,数学再不是单一的解题。
二、加强数学阅读,拓展数学视野
      
时下,孩子的数学读物大都是夯实基础的题集,或提升思维的思维的奥数之类,学习的意义被定义在了应试,这就需要我们以一定的补充为孩子找到与我们日常生活密切相关,又能为孩子拓宽视野,提高学习兴趣,提升数学素养。
       1.
开学第一课
      
针对孩子的知识能力,我首先自己阅读了一些数学人文类读物,如:郑毓信的《数学与文化》,谈祥伯的《数学与文史》、《乐在其中的数学》、朴京美的《数学思维树》、《数学维生素》、《好玩的数学》系列书、张维忠的《文化视野下的数学与数学教育》等,然后选取孩子易懂,感兴趣的内容,利用每学期开学的饿第一堂课,讲给孩子们,引领孩子阅读。
      
几年来,我为孩子们讲了数字诗、九宫格、埃舍尔的数学艺术、回文数、有趣的数字、《达芬奇密码》中的数学、《建筑中的数》……这些数学书上找不到,孩子们又非常感兴趣的饿内容,大大促进了孩子学习数学的热情,有些孩子下课后还到网上找相关内容,继续阅读。
      2.
数学粘贴本
在低年级的时候,我设立了“快乐阅读”墙报,定期为孩子粘贴一些数学人文类读物,如:诸葛亮巧布阵,数学家故事、成语中的重量单位、古代兵器的重量等,并鼓励孩子阅读,定期为孩子讲解意思。上了三年级,学校有了《玩数学》校报,我让孩子把报纸上与本年级有关的内容和自己感兴趣的内容剪下来贴在粘贴本上,并为自己的粘贴本取个性化名字。自己也可以在本上粘贴一些课外读到的小品文,和一些巧思妙解的题目,并给予及时评价。
     3.
推荐读物
      
根据孩子们的阅读能力,我为孩子们推荐了一些数学读物,如:马希文的《数学花园漫记》、李毓佩《奇妙的数学国》、《荒岛历险》、《爱克斯探长》,谈祥伯的《数学百草园》、《数学与文史》、《快乐数学》、《贝贝妮奇奇卡的数学之旅》……我还把自己的书当成奖励给孩子阅读,让孩子在全班谈阅读体会,这使孩子的阅读热情高涨,一些家长还专程到成都、或从网上购书。
    
几年来,我在探索数学文化的道路上且思且行,和孩子们共同享受着数学文化带给我们的成长的快乐。课堂数学文化的引入,让孩子更容易接近“真理”,视野的拓展,让学生更加喜欢数学,就这样孩子们在数学文化的浸染中,慢慢地加深了对数学的理解,今天,数学在他们眼里再不是单一的解题,必长此以往,他们的数学素养必定会慢慢积淀、提高。
 
 
上下求索之“数学文化”
                                          
李晓华
        
接触“数学文化”是几年前的事情,一个偶然的机会,我读到南京北京东路小学张齐华老师《走进圆的世界》的课堂实录,这是兼容文学、哲学、历史为一体的数学课,这样的数学课带给我的震撼是空前的,教了十几年数学,我第一次深深感慨:原来,数学课还可以这样上!我搜索了张齐华网上的文章及相关评论进行了学习,被张老师全新的教学视野所打动,于2005年着手实践“数学文化”。最初我把数学文化理解为在数学课上引进人文性内容,于是把它细化为“透过数学看世界”,“人人学习有价值的数学”、“感受数学美”几块,开始了我在“数学文化”路上的行走。
                                          
山重水复的探索
        
我以《认识钟表》为内容,进行了数学文化的第一次尝试,为了彰显我的思考,我让课堂蕴涵了大量文化色彩:选取几个1010分的钟面,让孩子指出时针、分针以后,告诉孩子这些钟面的寓意(西方胜利的标志,中国十全十美之意);选取几个文化钟:玉石钟、脸谱钟、龙钟、福字钟,在孩子们认出钟面上的时刻后,逐一向孩子们解释钟面的文化内涵;选取几个有意义的时刻,让孩子认:神六升空的时刻、巴金逝世的时刻、中华人民共和国成立的时刻,最后,展示了钟表的发展史。这节课超越了教材,打破了传统的数学课教法,课后,听课老师对我的思考给予了充分肯定。但我更看中老师们对这节课的批评:基础落实得不够,面对老师的批评,我进行了深刻的反思,这节课在知识上的训练确实是不够的,除去自己时间把握不好,新课草草收场外,最主要的原因还是对数学文化的认识不够清晰,肤浅地把数学文化理解为数学课的一件美丽外衣,刻意追求数学的美学价值,认为数学文化是课堂中所承载的数学内容,这样就注定了要偏离航向。如同张齐华上完《走进圆的世界》所遭受的质疑一样,我在“第一线教育网”上,我同样遭遇了网友们的询问:什么是数学文化?数学文化有什么价值?数学文化是否冲淡了数学课该有的数学味?数学文化又何以应对考试?众多的声音,冲刷着我的头脑,最初的冲动、期待慢慢变成冷静、甚至迷茫,于是对“数学文化”重新做了思考。
                                    
柳岸花明的发现
        
我认为,新的构建应该从全面学习开始,研究源于阅读。于是我开始了新的学习,我读了郑毓信的《数学文化学》,奠宙《数学文化——理性文明的火车头》、龙善培《数学文化与数学教学》、张维忠的《文化视野中的数学与数学教育》、易南轩《数学美拾取》……对数学文化的理论论述,观看了张齐华《轴对称图形》、《因数与倍数》、贲有林《7的乘法口诀》、周卫东《斐文拉契数列》、华应龙《莫比邬斯带》……等实践课堂,还读了谈祥伯、李毓佩、张景中……的数学人文读物,这些数学文化产品打开了我的视野,对数学文化有了一些深入的了解,在此基础上,我对数学文化的意义进行了重构:
      
首先,数学文化不是数学加文化,最初我尝试数学文化是想借此扩大孩子的视野,为此,我不失时机地为孩子补充人文内容,甚至包括一些与数学无关的知识,比如上文中提到的给孩子看各种钟面,给孩子讲钟面1010分的寓意,比如:在讲《11---20各数的认识》的时候,把十七孔桥和《最后的晚餐》的图片拿给孩子们看,现在看来,这误读了数学文化内涵,张齐华的《轴对称图形》中一个环节充分说明了这一点。在这节课里,张老师依然准备了丰富的内容:美妙的音乐声中欣赏桂林山水,出示交通安全标志,汽车标志的一半,让孩子们猜另一半是什么,这些精彩的华章最终都没成为这节课的亮点,而最打动听课老师的是孩子们关于五个图形是不是对称图形的讨论,那闪现孩子思维火花的讨论,赢得了这样的评价:这样的讨论对于数学思维品质及数学思辩能力的培养,以及由思考而带来的智力愉悦,彰显了更为本质的数学文化魅力,在这里,数学文化回归到了数学本身。同样让我眼前一亮的课堂是强震球老师的《角的度量》,课一反常态,打破了以往由直观认识——操作应用——熟练掌握的知识结构,而是引导学生经历量角器的设计与制作过程,在设计与制作角的过程中,中心点、1度角、刻度、角的度量方法都很自然地出现,一切都在不经意中,“回到原点的思考”,这样的课堂来自对角的度量的深刻认识,将其产生的最原始的过程展现给孩子,非常符合孩子的认知规律,这样的展现,不是数学文化的最好体现吗?前苏联教育家加里宁说过:“数学是思维的体操”。说的就是数学在严谨的逻辑思维中有非常重要的作用,尽管将来绝大多数学生都不会成为数学家,但是条理化和逻辑性作为文化素质对他们将来从事任何一种职业都是需要的。我想,这才是数学文化的真正内涵。
    
第二,数学美是我让孩子感受数学文化的又一内容,然而我最初是把这种美定义为感性美,摸得着,看得见的,所以才有在上数字时,给孩子们看艺术数学字的环节(由人体组成的数学数字),才有让孩子用三角形、正方形、圆形等数学图形组拼美术图案,并誉之为“美丽数学”张贴在展板上的做法,今天想来,这样的思考大大地窄化了数学美,在齐民友的《数学与文化》里,这样说:虽然人对美的理解和感悟、各不相同,但总之美和完善、完美、和谐、秩序……等互相联系,而数学本身体现出来的简洁美(抽象美、符号美、统一美)和谐美(对称、形式)、奇异美(有限、神秘美)会给学生以美的熏陶。如,对称的图案,对称的建筑物,绘画中的对称,文学作品中的对称手法;奇妙的黄金分割点为达芬奇的画增加了神秘;而数学公式,让复杂问题简单化;还有蜂房的底角是两个互补脚;莫比邬斯带是一个神奇的带子;斐文拉契数列在自然界留下神秘的身影;古老的河书、洛图竟和八阵图有着千丝万屡的联系;更有数学与文学;数学与音乐;数学与哲学的紧密关系,……这些都该是数学的美所在,在无数的例证面前,数学美在我面前有了新的涵义:数学美广泛的存在于数学的各个细胞之中,可谓是“天涯何处无芳草”,需要我们细心去发现,更需要捕捉的是它的理性美!
豁然开朗的尝试
        
带着对“数学文化”的新认识,新的思考角度设计了《千克与克的认识》一课,在这堂课上,我完全摒弃了与数学课无关的“数学文化”,还数学课本身的数学味与课堂,我选取了几个生活中常见的物体,来做参照物,由小及大地体验了一些物体的重量:一只鸡蛋60克、一本书200克、1千克的面条、5千克的书包、10千克的大米、20千克的同学体重,其间每体验一个参照物的重量就出示一些和参照物重量相近的物体让孩子猜重量,这样为孩子建立了一个比较的标准,一路下来,孩子对千克、克有了清晰的认识,并通过让孩子把100把面条的重量用克来表示,当发现数据很大,不方便记录时,引出了千克,我想这里我是回到了“原点的思考”,这堂课上,我只在最后,为让孩子感受重量单位的发展史;感受数学与文学的联系;感受语言、文字背后的历史故事,选择了几个藏有重量单位的成语:千钧一发、半斤八两、不差累黍,为孩子介绍了其它一些重量单位,让孩子在成语中感受重量单位的大小,理解成语的意思。这样的处理,数学课有了数学味,一切回归到“山还是山,水还是水”的境地。老师们也到这节课给予了高度评价,我觉得我似乎找到了数学文化的真谛,但是这一次,我又错了。
      2008
11月,已经很久没看到张齐华文字的我,突然在《读写月报新教育》上看到了他的新作《圆的认识》,这是一堂赤裸裸的数学课(张齐华朋友语),天津特级教师徐长青也从“曲与直”、“内与外”、“动与静”“有限与无限”的哲学高度给张老师予以了高度的评价。在这节课上,张老师舍弃了容易引起“浮华”印象的音乐、图画,熔入了更多的数学活动,整节课围绕“探寻并感悟圆的美”而展开,在“寻根究底”这一板快中,用圆规画圆,圆心、半径、直径特征的探寻,都围绕“圆之所以最美的内在原因”,这一主题而展开,而最终答案最终聚焦在了“圆的所有半径都相等”上。这样的教学对“圆之所以最美的内在原因”获得了深刻的体验。在最后,通过旋转各种不同的图形,让孩子在感受数学美的过程中,为孩子建立了圆是某个点沿着特殊路线运动后留下的轨迹这一高度。这是一堂异常完美的课,带给我的惊叹绝不亚于初次感知数学文化的强烈程度!但张齐华却这样评价自己的这次探索:“探索与实践的道路上,只有起点、没有终点、每个人永远都只是在路上……”。

                              
路漫漫,其修远兮,吾将上下而求索
      
我想,我也该再行走一次了。这一次,我为自己选取《莫比邬斯带》,这是一个充满数学符号的选题。我把课的基调定在有阅读与探索可以提升你的智慧上:因为前人孜孜以求的探索,所以有了今天那根充满神奇的带子,因为有我们今天的探索,所以,我们知道了它的神奇,在上课过程中我潜移默化地交给孩子一些学习的方法,我先介绍了几本有莫比邬斯带内容的书和几个科技馆及重要展馆中展出的莫比邬斯带,让孩子感受到它的巨大魅力。然后教孩子制作了一条莫比邬斯带,通过观察几张有蚂蚁爬行的莫比邬斯带图片(其中有埃舍尔的作品,并趁机介绍埃舍尔),由此质疑爬虫与莫比邬斯带的关系,并告诉孩子遇到困惑时的学习方法:查找资料,之后引出一段介绍莫比邬斯带单侧曲面的资料让孩子阅读,再实际验证莫比邬斯带单侧曲面,让孩子想象单侧曲面的其它性质及运用,通过对一张莫比邬斯带上画的左右手的质疑,让孩子实际操作,论证左右手在莫比邬斯带上的重合,又为孩子介绍莫比邬斯带在生活中的运用:传送带、磁带……最后介绍了莫比邬斯带的文化含义:北京科技馆将三叶纽结展出的寓意是:科技没有国界;在科幻小说里面常常用到,在《黑暗之墙》、《一个叫莫比乌斯的地铁站》、《星际航行:下一代》中,莫比邬斯带都被赋予了神秘的力量……这样一堂充满探索与悬疑的课堂,孩子们非常感兴趣,由此我得到这样的启示:对数学文化的渗透一定要建立在对教学内容深层次的了解上,数学文化不仅仅只在于数学的人文性和美学价值、思想方法的提炼上,更应该凝聚在对探索不止的数学精神和数学的科技含量及它在生活中的运用上!
      
《莫比邬斯带》让我对数学文化的认识又上了一个层次,但这节课其实也存在很多的问题:如它的数学味依然不够,老师的精彩多于学生的精彩,孩子思维碰撞的机会并不多……正如张齐华所说:“当一个思考形成时,新的问题已经在不远处向你招手”,我想:“数学文化,是值得也是需要我继续探索下去的”,于是我想把屈原的那句不朽名言作为自己在数学文化之路上行走的姿态:“路漫漫兮其修远兮,吾将上下而求索”。
 
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    2011-03-24 10:23

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