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数学逆转程序与方法

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数学逆转程序与方法

当代著名数学家、教育学家波利亚在论述解题策略时,曾强调“反面思考”的作用,所谓“反面思考”,就是通过考察事物的对立面来探索问题的解的一种思考方法。由于事物的对立面可以从不同的角度来选取,这就使得反面思考又有不同的思考方式,而逆转程序就是这些思考方式中的一种,如果把原问题看成是已知a来探求b,那么,逆转程序就是把原问题更改为已知b来探求a,即从相反方向(交换起点与终点)这个对立面来探求问题的解答。下面举几个例子,说明逆转程序的应用。这些例子都是生动有趣的,但用常规的方法却不易求解,从而有力地说明了逆转程序在解决有关问题(特别是数学竞赛题)中的优越性。例:给你四段链条,每一段上有三节封闭(可开可合)的环。现在要你打开一些环,把十二节环连接成一个首尾相接的圆圈(图略)。每打开一环得两分,接上一环得3分,要以得分不超过15分完成本题。有人对解这个题的各种尝试过程作了非常详细的讨论,并介绍了在不断的“试错”和“反思”中寻求解题途径的思想方法,这无疑是一种有效的解题方式。
但是,本题若采用逆转程序的策略,其解答则显而易见。解我们从相反的方向来考察,即怎样将一个12环首尾相接的圈打开尽量少的环,使其分成环数相等的四部分?(图略)我们只须打开标有“×”的三个环即可,由于“合”与“分”是对立的统一,一种“分”的方式即可产生一种“合”的方法。这样,可知原题应打开某段链条的全部三个环,此时,打开三环得6分,而且该三环将其它三段链条接起来得9分,共得6+9=15分,符合题目要求。又例:由8个相同的小立方体构成一个2×2×2的大立方体。
今沿小立方体的表面将大立方体分成大小、形状完全相同的两个几何体,问有多少不同的分法?解本题是一个有趣的组合问题,如果将思维限制在考察怎样从大立方体中分割出两个全等的几何体则是难以考虑全面的:表面似乎只有一种分法,即将其分为两个1×2×2的长方体。除此之外,再不知如何下手。现在,我们从相反的方向来考虑:哪些全等的两个几何体(由4个小立方体构成)可以“合”成一个大立方体?即从部分“合成”整体这一方向来考察事物的可能性。由于“部分”的形状比较容易分析,从而问题的解也就趋于明朗。考察由4个小立方体合在一起构成的图形的所有可能形状,其中注意它们的最大棱长不超过2。首先,由两个正方体拼起来只有一种方式,再加上一个正方体,虽有两种情形,但其中一种含有大于2的棱长,从而也只有一种可能。再在三个小正方体上添加一个小正方体这只有4种允许的本质上不同的拼合方式(本质上不同是指经过刚体运动后它们不能重合)。意外的是,这四种情形中的任何一种,其两个完全相同的几何体都能拼成2×2×2的立方体,故我们的答数为4。

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